نامساوی های هندسی

چند نامساوی هندسی

انگیزه‌ی نوشتن این مقاله، اهمیّتی است که نامساوی‌ها در تمام شاخه‌های ریاضیات دارند تا جایی که گاهی از تساوی‌ها نیز مهم‌ترند. چون احکام نامساوی‌های هندسی را به آسانی می‌توان فهمید از این رو جذابیّت خاصّی دارند در عین حال مقدّمه‌ای بسیار خوب برای آشنایی با ریاضیات جدید و اندیشه‌ی خلّاق ریاضی هستند. در این جا شما را با چند نامساوی مهم هندسی و روش به دست آوردن آن‌ها آشنا می‌کنیم.

1- نامساوی میانگین‌های حسابی- هندسی:
تعریف: برای اعداد حقیقی  ؛ میانگین حسابی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

 

تعریف: برای اعداد حقیقی نامنفی  ؛ میانگین هندسی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

 

حکم: برای اعداد حقیقی نامنفی  ؛ میانگین هندسی از میانگین حسابی؛ نابیش‌تر است یعنی: .

 

پیش از پرداختن به اثبات این حکم، ابتدا لم زیر را می آوریم :
لم: اگر x عدد حقیقی نامنفی دلخواهی باشد آن‌گاه: .
این لم به کمک قضیه ی مقدار میانگین اثبات می شود و در کتب استاندارد حساب دیفرانسیل و انتگرال آمده است .

اثبات حکم: برای  ، با جایگذاری  در نامساوی لم خواهیم داشت:.و لذا:

 

2- نامساوی اردوش- موردل:
حکم:اگر P نقطه‌ی دلخواهی درون مثلث  به ترتیب، فاصله‌ی P از اضلاع c,b,a باشند آن‌گاه:.
و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر مثلّث ABC متساوی‌الاضلاع  بوده و P مرکز ثقل آن باشد.
اثبات:

 

از طرفی چون چهارضلعی CDPE محاطی است پس طبق قضیه‌ی بطلمیوس داریم:

با استفاده از (**) داریم :

 

اکنون با استفاده از رابطه‌های (*) و (***) خواهیم داشت:.
به روش مشابه می‌توان نشان داد که:.
بنابراین:

 

لم: برای 0 و تساوی وقتی و فقط وقتی رخ می‌دهد که 1=x.
اثبات لم به عنوان تمرین به خواننده واگذار می‌شود.
پس با استفاده از لم و رابطه‌ی (1) خواهیم داشت:.

و تساوی وقتی و فقط وقتی رخ می‌دهد که مثلّث ABC متساوی‌الاضلاع بوده و P مرکز ثقل آن باشد.

نکته:نامساوی اردوش-موردل در حالتی که P روی مرز مثلّث ABC باشد نیز برقرار است.

3- نامساوی اویلر:
حکم: اگر R شعاع دایره محیطی و r شعاع دایره محاطی مثلّث ABC باشند، آن‌گاه: .
لم: اگر d فاصله‌ی مرکز دایره‌ی محیطی و مرکز دایره‌ی محاطی مثلّث ABC باشد آن‌گاه:.

برای دیدن اثباتی از این لم می‌توانید به کتاب " بازآموزی و بازشناخت هندسه" ترجمه‌ی عبدالحسین مصحفی مراجعه نمائید.
به وضوح، حکم با توجه به لم فوق نتیجه می‌شود.

4- نامساوی Hadwiger-Finsler:
حکم: اگر a,b,c اضلاع مثلّث ABC و A مساحت آن باشند، آن‌گاه:

پیش از پرداختن به اثبات حکم، مفهوم تابع محدّب را معرّفی می‌کنیم:
تعریف: تابع  را محدّب گوئیم (I یک بازه است) هرگاه به ازای هر x,y در I و هر  داشته باشیم:  .

لم: اگر f تابعی محدّب و  نقاط دلخواهی در دامنه‌ی f و اعداد دلخواه ,()طوری باشند که  آن‌گاه: 

 

اثبات لم با استقراء بر n .(جزئیات به عهده‌ی خواننده).
اثبات حکم:  که در آن  زاویه‌ی بین ضلع‌های b,cاست. چون  پس :

به روش مشابه می‌توان نشان داد که و که در آن  به ترتیب زوایای بین ضلع‌های "a,b" , "a,c "هستند. بنابراین:

 

چون  و  در  محدّب است. [چرا؟]
پس طبق لم اخیر خواهیم داشت:

 

با استفاده از (*) و (**) خواهیم داشت:

 

و به این ترتیب حکم ثابت می‌شود.

5- نامساوی Weizenbock:
حکم: اگر a,b,c اضلاع مثلّث ABC و A مساحت آن باشند، آن‌گاه:

اثبات: کافی است در نامساوی 4 از این واقعیت که: است، استفاده کنیم.

+ نوشته شده در  ۹۰/۱۲/۲۳ساعت 15:19  توسط وحید عابدی  |  نظر بدهید

---

روشی هندسی برای حل معادله ی درجه ی 3

روشی هندسی برای حل معادله ی درجه ی 3

حدود 900 سال پیش ،خیام روشی هندسی برای حل معادله ی درجه ی سوم به شکل:() ارائه کرد که در این جا به آن پرداخته ایم:

 

1)ابتدا یک سهمی به معادله ی را رسم می کنیم.

2)دایره ای به قطر رسم می کنیم ،به طوری که مرکز آن روی محور xها قرار داشته ودایره بر محور yها مماس باشد.(مانند آن چه که در شکل زیر آمده است.)

 

3)دایره ی رسم شده،سهمی رادرنقطه ی P قطع می کند،از P عمودی برمحور xها رسم کرده و نقطه ی تقاطع را Q می نامیم.

اندازه ی پاره خط AQ ریشه ی معادله است.

 اثبات:معادله ی دایره ی به مرکزو شعاع عبارت است از:.اگر این دایره را با سهمیقطع دهیم به معادله ی می رسیم و این یعنی اندازه ی پاره خط AQ ریشه ی معادله ی درجه ی سوم مزبور است.

+ نوشته شده در  ۹۰/۱۲/۲۳ساعت 15:17  توسط وحید عابدی  |  آرشیو نظرات

---

روشی برای محاسبه ی سینوس

روشی برای محاسبه ی سینوس

در این مقاله روشی برای محاسبه ی سینوس زوایای دلخواه ارائه می شود که به کمک آن می توان سایر نسبت های مثلثاتی را نیز به دست آورد .
 

سینوس یک زاویه حاده چیست؟در مثلث قائم الزاویه سینوس زاویه حاده برابر است با:نسبت ضلع رو به رو به این زاویه،بر وتر.
یک روش محاسبه برای زاویه های خیلی کوچک این است که نسبت قوس را به شعاع حساب کنیم.
مثلا" برای زاویه 1 درجه داریم:(شکل 1)  

که قوس است.و در آن ...14159/3= است.و AB=R .

پس : .

و به همین ترتیب می توان به دست آورد:

حال اگر سینوس 30 درجه را با روش فوق محاسبه کنیم ، عدد 524/0 را به جای 500/0 به دست می آوریم که خطای حاصل یعنی قریب 5% خواهد بود و این بیش از اندازه زیاد است. برای این که بتوانیم مرزی برای روش فوق پیدا کنیم سینوس زاویه 15درجه را با دقت محاسبه می کنیم:

با توجه به شکل 2 داریم:  
 

شکل2

BC را به اندازه ی خودش تا نقطه ی D امتداد می دهیم و سپس D را به A وصل می کنیم. در این صورت دو مثلث مساوی ADC و ABC و زاویه BAD مساوی 30درجه به دست می آید. عمود BE را بر AD فرود می آوریم ؛ مثلث قائم الزاویه BAE بازاویه 30 درجه(زاویه BAE ) به دست می آیدو بنابراین =BE می شود.
حال AE را از مثلث ABE طبق رابطه ی فیثاغورث به دست می آوریم:

 

حال در مثلث BED طول BD را محاسبه می کنیم:

 

اگر به سه رقم اعشار اکتفا کرده باشیم ، این عدد، همان عددی است که در جدول ها برای 15 Sin ضبط شده است.

حالا اگر مقدار را با روش نسبت قوس بر شعاع محاسبه کنیم به عدد 262 /0 می رسیم:با مقایسه دو عدد 262/0و259/0 می بینیم که اگر هر دو را تا دو رقم اعشار گرد کنیم به عدد 26/0 می رسیم . خطای حاصل از تبدیل مقدار دقیق تر 259/0 به 26/0 مساوی ،یعنی قریب4/0% است. که این مقدار خطا برای محاسبه های عادی مانعی ندارد.

برای زاویه های بین 15 درجه و 30 درجه می توانیم از تناسب استفاده کنیم .به این ترتیب استدلال می کنیم که اختلاف بین 30 Sin و 15 Sin برابر است با :

با اضافه شدن یک درجه به زاویه،سینوس آن به اندازه این اختلاف، یعنی به اندازه زیاد می شود. خطای این روش است که در محاسبات تقریبی خود از آن صرف نظر می کنیم .

به این ترتیب با اضافه کردن 016/ 0به سینوس 15 درجه به طور متوالی سینوس زاویه های 16، 17درجه و غیره به دست می آید:
 

.

.

.

به همین ترتیب می توان سینوس زاویه های بین 30 و 45 درجه را محاسبه نمود.

اگر این مقدار را مرتبا" به سینوس 30 درجه اضافه کنیم به دست می آید:
 

.

.

.

حال به محاسبه ی سینوس زاویه ی حاده ی بزرگ تر از 45 درجه می پردازیم:
برای این منظور می توان از قضیه ی فیثاغورث استفاده کرد.
فرض می کنیم که بخوا هیم سینوس زاویه 53 درجه را محاسبه کنیم:
باید نسبت را به دست آوریم.(شکل3 )

 

شکل3

چون37=B درجه است،پس می توان سینوس آن را به روش قبل محا سبه کرد:

از طرفی داریم :  

بنا بر این:     و لذا داریم :